A*寻路算法中的启发式函数：曼哈顿距离与欧几里得距离详解

1. A*算法基础

A*算法是一种广泛应用于游戏开发和机器人导航的启发式搜索算法。其核心公式为：

1	f(n) = g(n) + h(n)

其中：

f(n) 是节点n的总评价函数
g(n) 是从起点到节点n的实际代价
h(n) 是从节点n到目标的估计代价（启发式函数）

启发式函数的选择直接影响A算法的效率和结果路径的质量。最常用的两种启发式函数是曼哈顿距离和*欧几里得距离。

2. 曼哈顿距离 (Manhattan Distance)

2.1 定义与计算

曼哈顿距离又称为”城市街区距离”，计算公式为：

1	h = \|x2 - x1\| + \|y2 - y1\|

在三维空间中，公式扩展为：

1	h = \|x2 - x1\| + \|y2 - y1\| + \|z2 - z1\|

2.2 特点分析

优点：

计算简单高效，不涉及复杂数学运算
在只允许水平和垂直移动的网格中提供精确估计
保证可接受性（不会高估实际成本）

限制：

在允许对角线移动的网格中会高估路径长度
不适用于连续空间或自由角度移动的场景

2.3 适用场景

四方向移动的网格地图（如：经典的迷宫问题）
城市街道导航（城市街道通常呈网格状）
类似《吃豆人》的游戏，角色只能沿网格线移动
棋类游戏如国际象棋中车(Rook)的移动

2.4 代码实现

float ManhattanDistance(Node a, Node b)
{
    return Mathf.Abs(a.x - b.x) + Mathf.Abs(a.y - b.y);
}

3. 欧几里得距离 (Euclidean Distance)

3.1 定义与计算

欧几里得距离是两点间的直线距离，计算公式为：

1	h = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

在三维空间中，公式扩展为：

1	h = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

3.2 特点分析

优点：

提供两点间最短路径的精确估计
在任意角度移动的场景中表现良好
对于连续空间寻路非常适合

限制：

计算开销较大（涉及平方和平方根运算）
在只允许正交移动的网格中会低估实际路径长度

3.3 适用场景

开放世界游戏中的自由移动
3D空间的导航
允许全方向移动的RTS游戏
无人机或机器人的路径规划

3.4 代码实现

float EuclideanDistance(Node a, Node b)
{
    return Mathf.Sqrt(
        (a.x - b.x) * (a.x - b.x) + 
        (a.y - b.y) * (a.y - b.y)
    );
}

4. 两种距离函数的比较

4.1 计算效率

距离函数	计算复杂度	相对性能
曼哈顿距离	O(1)，仅包含基本运算	更快
欧几里得距离	O(1)，但包含平方根运算	较慢

4.2 路径特性比较

距离函数	生成路径特性	搜索扩展形状
曼哈顿距离	倾向于生成”之”字形路径	菱形扩展
欧几里得距离	倾向于生成更直接的路径	圆形扩展

4.3 视觉对比

当使用曼哈顿距离时，A*算法的搜索空间类似于一个菱形，从起点向外扩展

当使用欧几里得距离时，搜索空间更像一个圆形

5. 实际应用中的选择策略

5.1 基于移动模型选择

仅允许正交移动（上下左右）：优先选择曼哈顿距离
允许对角线移动：考虑使用对角线距离（或欧几里得距离）
自由角度移动：使用欧几里得距离

5.2 基于性能需求选择

对性能要求极高：考虑使用曼哈顿距离或欧几里得距离平方（避免平方根运算）
需要最优路径：选择与移动模型匹配的距离函数

5.3 混合策略

在某些情况下，可以采用混合策略：

在开放区域使用欧几里得距离
在网格约束区域使用曼哈顿距离
根据地形特性动态切换启发式函数

6. 代码优化技巧

6.1 欧几里得距离的优化

对于仅需比较距离大小而非精确值的场景，可以使用欧几里得距离平方来避免开销较大的平方根运算：

float EuclideanDistanceSquared(Node a, Node b)
{
    return (a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y);
}

6.2 预计算技巧

对于静态地图，可以预计算起点到各点的距离，减少运行时计算：

// 预计算阶段
void PrecomputeHeuristics(Node target)
{
    foreach(Node node in allNodes)
    {
        node.heuristicToTarget = ManhattanDistance(node, target);
    }
}

7. 综合案例分析

7.1 案例：网格地图中的寻路

考虑一个10x10的网格地图，起点坐标(1,1)，终点坐标(8,8)：

使用曼哈顿距离：|8-1| + |8-1| = 14
使用欧几里得距离：√((8-1)² + (8-1)²) ≈ 9.9

如果网格只允许上下左右移动，实际最短路径长度为14，曼哈顿距离提供了精确估计。
如果允许对角线移动，最短路径长度为7（沿对角线直接移动），欧几里得距离的估计更接近。

7.2 案例：性能与精确度的权衡

在一个大型RTS游戏中，需要同时处理数百个单位的寻路：

对于远距离初步规划：使用曼哈顿距离快速规划大致路径
对于精细导航和障碍物规避：切换到欧几里得距离
在性能瓶颈场景：考虑使用欧几里得距离平方作为近似值

8. 结论

曼哈顿距离和欧几里得距离是A*算法中两种最基础且最常用的启发式函数。选择合适的启发式函数应基于：

移动规则：考虑游戏或应用中允许的移动方式
计算效率：评估性能需求与路径质量的平衡
地图特性：分析环境的特点和约束

掌握这两种距离函数的特点和应用场景，能够帮助开发者更有效地实现A*寻路算法，为游戏和应用提供高效、自然的路径规划解决方案。